Signalerx1

inkluder kode fra ex1.m og plot_spectrum.m her.

Det komplekse spektrum for det analoge firkantsignal er givet ved (2.68):

(1)
\begin{eqnarray} G_{ana}(f) = aT\frac{sin(\pi fT)}{\pi fT}e^{-j \pi fT}\\ G_{ana}(f) = a\frac{sin(\pi fT)}{\pi f}e^{-j \pi fT} \end{eqnarray}

Dette signal kalder vi G_ana

Ved at benytte koden i plot_spectrum, navnlig en fft fandt vi det komplekse spektrum for det digitale firkantsignal. Her kaldt spect. Nedenfor ses G_ana, G_ana*fs og spect plottet i samme graf.

1.png

Der ses en forskel mellem G_ana*fs og spect der stiger med frekvensen. Lad os kigge nærmere på denne forskel. Nedenfor ses spect - G_ana*fs

2.png

Her ses det tydeligt at forskellen mellem spektrum for det analoge signal og spektrum for det digitale signal stiger med frekvensen.

For at belyse denne forskel må vi kigge på formlerne.

Det komplekse spektrum for det digitale firkantsignal er givet ved (4.37):

(2)
\begin{eqnarray} G_{dig}(f) = a\frac{sin(\pi fN \Delta T)}{sin(\pi f \Delta T)}e^{-j \pi f(N-1)\Delta T} \end{eqnarray}

Det kan nu benyttes at $sin(x) \approx x$ for små x samt at $fs = \frac{1}{\Delta T}$ dvs.

(3)
\begin{eqnarray} G_{dig}(f) \approx a\frac{sin(\pi fN \Delta T)}{\pi f \frac{1}{fs}}e^{-j \pi f(N-1)\Delta T}\\ G_{dig}(f) \approx afs\frac{sin(\pi fN \Delta T)}{\pi f}e^{-j \pi f(N-1)\Delta T}\\ G_{dig}(f) \approx fsG_{ana}(f) \end{eqnarray}

Det ses altså at for stigende frekvenser vil forskellen imellem de to spektra blive mere udtalt da sinusfunktionen i nævneren på det digitale signal vil træde mere i karakter.

For at G_ana*fs = G_dig for -fs/2<f<fs/2 skal det digitale signal være samplet med en samplingfrekvens der er 2 gange den største frekvenskomponent i det analoge signal, men spektret for en rect-funktion er en sinc-funktion. Altså har rect-signalet uendelig båndbredde og det er derfor umuligt at sample med nyquist raten. Eftersom vi sampler med en frekvens under nyquist raten, vil vi se aliasering, hvilket vil give sig udslag i en øget høj-frekvent komponent i spektret for det digitale signal. Dette ses tydeligt da spect netop har højere værdier end G_ana for de høje frekvenser.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License